正交多项式-正交多项式的性质证明

摘要： 本文目录一览：1、正交函数是什么意思2、正交多项式的三项递推关系...

本文目录一览：

• 1、正交函数是什么意思
• 2、正交多项式的三项递推关系
• 3、为什么正交多项式是勒让德多项式呢?

正交函数是什么意思

则称这两个函数相互正交。量子力学表明：属于同一厄米算符的不同本征值的本征函数互相正交。这种性质称为本征函数的正交性。这属于正弦波四个性质之一：任何两个频率不同的正弦波都是正交的。

正交是线性代数的概念，是垂直这一直观概念的推广。作为一个形容词，只有在一个确定的内积空间中才有意义。若内积空间中两向量的内积为0，则称它们是正交的。如果能够定义向量间的夹角，则正交可以直观的理解为垂直。

是指任何两个相异的函数的乘积在[0，π]上的定积分为0.正交的概念来自于向量，两个向量正交就是两个向量垂直，特征是数量积为零。三角函数系正交是借用向量正交的概念。没有直观的几何解释。

正交多项式的三项递推关系

1、在[-1，1]上关于权函数P(x)=1的正交多项式为勒让德多项式。

2、所有的正交多项式都满足三项递推公式：对于一个正交多项式序列 都有下式成立 (2)其中指的是 的首次项系数， 是 。

3、递推关系：递推公式中的每一项都依赖于前一项的值，通过递推关系计算下一项的值。

4、p=polyfit(x，y，n) 用于多项式曲线拟合，其中x，y是一个已知的N个数据点坐标向量，当然其长度均匀为N，n是用来拟合的多项式系数，p是求出的多项式系数，n次多项式应该有n+1个系数，故p的长度为n+1。

5、定义：建立序列中第n项与其前趋元素间的关系递归算法的分析。

为什么正交多项式是勒让德多项式呢?

在[-1，1]上关于权函数P(x)=1的正交多项式为勒让德多项式。

勒让德多项式是勒让德函数的特例，勒让德多项式是正交函数系。　更一般地给出：第一类勒让德函数 在除去（-∞，-1）的Z平面内解析。

事实上，推导勒让德多项式的另一种方法便是关于前述内积空间对多项式{1，x，x，...}进行格拉姆-施密特正交化。之所以具有此正交性是因为如前所述，勒让德微分方程可化为标准的Sturm-Liouville问题。

正交多项式最简单的例子是勒让德多项式，此外还有雅可比多项式、切比雪夫多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式等，它们在微分方程、函数逼近等研究中都是极有用的工具。

勒让德多项式的一个重要性质是其在区间 1 ≤ x ≤ 1 关于L2内积满足正交性，即 就算是0 ≤ x ≤ 1 当n=0时，你需要的正交基依然存在。其他情况全部x*0.5，y-1即把正个压缩再平移即可。